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2013年度大学入試センター試験
試験日:2013年1月19日・20日

東進提供記事

【分析速報】数学Ⅰ・数学A

写真:数学1A問題:第4問「場合の数と確率」は十分完答が狙える拡大第4問「場合の数と確率」は十分完答が狙える

 大問構成、配点、問題量は変化なし。

問題と解答はこちら

【大問数】変化なし
【難易度】

【全体概観】

 選択問題なしの大問4題の構成は昨年と変化がなかった。また、各大問の分野構成も昨年と同じ。第1問後半で、昨年に続き、集合と論理が題材として扱われている。各大問の配点は昨年と変わりない。第2問は、動点を含む三角形の面積を2次関数で表すという、目新しい出題である。第3問は前半から取り組みにくい。後半には昨年に続き、2円の位置関係を捉える問題があり、やや難しい。第4問は場合の数、確率の問題であり、昨年同様易しく時間配分さえ間違わなければ十分完答が狙える。

■設問別分析

【第1問】方程式と不等式、集合と論理
[1](方程式と不等式)
 式の値を計算する問題。誘導に従って素直に計算するだけなので、やや易しい。この問題は必ず正答しておきたい。
[2](集合と論理)
 三つの条件について、その関係を調べる問題。命題の対偶を答えたり、反例を選ぶ問題は、一昨年に引き続き出題された。いずれも落ち着いて考えれば難しくない。

【第2問】2次関数
 2次関数の問題。問題の入り方が目新しく、初めに2次関数が与えられている形ではない。動点を頂点に持つ三角形の面積を2次関数で表すよう誘導されている。計算はそう難しいものではないものの、時間を要することもありやや難しい。

【第3問】図形と計量、平面図形
 複数の三角形の内接円同士の位置関係を考える平面図形の問題である。前半から方針の立てにくい問題もあり、それらを用いて展開する後半への足がかりが得られずに苦労した受験生も多いと思われる。
 三角比の利用のほか、平面図形の性質を効果的に使えたかどうかが、分かれ目になったであろう。

【第4問】場合の数と確率
 1から4までの数字を用いて4桁の数を作る問題である。4桁の数の構成ごとに確率を求め、それぞれに与えられる得点を定めて期待値を求める流れとなっている。題意も理解しやすく、小問の流れに沿って解き進めて行けるので、出来は良かったと思われる。

■新高3生へのアドバイス

 センター試験の数学Ⅰ・Aでは、出題の難易度に関わらず高得点の争いとなると考えて準備しておく必要があります。数学Ⅰ・Aは、高校数学の土台ともいうべき分野なので、センター試験においても基本の理解を問う出題が多くなっています。基本を早めに確実に理解し、問題演習を繰り返すことが必要です。

 各分野毎に学習していく上で重要なポイントは以下の通りです。

 ◆方程式と不等式

 2次方程式の解の公式は正確に覚え、素早く計算できるようにしておきましょう。また、絶対値を中の符号で場合分けして外す、代入計算を式変形によって行う、複数の不等式を共通に満たす範囲を数直線を用いて考える、などといった基本動作を繰り返し、確実にできるようにしていきましょう。

 ◆集合と論理

 必要条件か十分条件なのかを考えるには、矢印や集合の包含関係を用いると分かりやすいです。しっかりと学習すれば、確実に得点できる分野なので、勘に頼ることなく、命題の真偽から考える習慣を普段からしっかりと身につけていきましょう。

 ◆2次関数

 グラフを描きイメージしながら解き進められるかがポイントです。2次関数のグラフが軸を中心として線対称であることを利用した最大・最小問題、2次関数のグラフと2次方程式・不等式の解の相互間の言い換えなどを、グラフを描いて考える習慣を身につけていきましょう。

 ◆図形と計量、平面図形

 正弦定理や余弦定理など、三角比の基本公式を身につけることが最も大切です。それに加えて、図形問題では自分で図を描いて考えることが基本です。なるべく大きく図を描き、解き進めていく中で分かった長さなどの情報を書き込んでいく習慣を身につけていきましょう。

 ◆場合の数と確率

 公式に頼るのではなく、樹形図などから数え上げの原理を理解することが極めて重要です。併せて他分野以上に状況を言い換える力も求められます。この分野は、数学Ⅰ・Aで最も伸びが緩慢な分野なので、考え方を理解しながら学習していきましょう。

 これらの分野を効率よく学習するには、いきなり入試レベルの問題に取り組むのではなく、教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップしていくのが一番の近道です。「計算を最後までやり抜く」「図やグラフを描いて考える」といった基本的なことを地道に積み重ねることによって、確固たる実力を身につけましょう。また、解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の原理をきちんと理解してから先に進むような勉強を心がけましょう。物事を理解するとは、その道理や筋道がわかり、自ら考えることができるようになることです。理解して先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力をつけることができます。

 東進では2カ月毎に実施されるセンター試験と同レベルの「センター試験本番レベル模試」があります。センター試験の傾向や自分の現在の力を知り、さらに不得意分野、弱点を明確にしてセンター試験対策を早期に進めていきましょう。

■新高2生へのアドバイス

 センター試験の数学Ⅰ・Aは、出題の難易度に関わらず、高得点の争いとなると考えて準備しておく必要があります。数学Ⅰ・Aは、高校数学の土台ともいうべき分野で、センター試験においても基本の理解を問う出題が多くなっています。ですから、まず基本を確実に理解して学習を進めていくことが必要です。

 数学Ⅰ・Aのそれぞれの分野において、新高2生の今から是非身につけておくべきことは以下のとおりです。

 ◆数と式

 代入計算を式変形によって行う、複数の不等式を共通に満たす範囲を数直線を用いて考える、などといった基本動作をしっかりと身につけていきましょう。

 ◆集合と論理

 必要条件、十分条件の言葉の定義をしっかりと覚えましょう。言葉の定義を覚えた上で、命題の真偽を矢印や集合の包含関係を用いて考えることを習慣化しましょう。

 ◆2次関数

 この分野はグラフを描いて、イメージして解き進められるかどうかがポイントです。グラフを描いて考えるということを習慣化しましょう。

 ◆図形と計量

 図形問題は図を描いて考えることが基本です。なるべく大きく図を描き、解き進めていく中で分かった長さなどの情報を書き込んでいく習慣を身につけていきましょう。

 ◆データの分析

 まずは用語の定義を正確に覚えることが重要です。用語を覚えた上で、度数分布表や箱ひげ図などからデータの特徴を読み取る練習を重ねていきましょう。

 ◆場合の数と確率

 公式に頼るのではなく、樹形図などから数え上げの原理を理解することが極めて重要です。全てを書き上げようとする姿勢の中で、順列や組み合わせの考え方を身につけていきましょう。

 ◆整数の性質

 約数・倍数の考え方、ユークリッドの互除法、n進法の考え方をそれぞれ原理から理解することが重要です。それぞれの式変形が何を意味するか、丁寧に確認しながら原理を理解していきましょう。

 ◆図形の性質

 三角形や円の性質を図と合わせて理解しましょう。図形と計量と同様、図を描いて解き進めていく中で等しい角や長さ、あるいは相似などを見抜く練習を重ねることが重要です。

 入試レベルの問題に取り組むために、まず今すべきことは基本を確実に身につけることです。教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップして学習していくことが、実力を上げる一番の近道です。「計算を最後までやり抜く」「図やグラフを描いて考える」といった基本的なことを地道に積み重ねることによって、確固たる力を養成していきましょう。また、解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の原理をきちんと理解してから先に進むような勉強を心がけましょう。物事を理解するとは、その道理や筋道がわかり、自ら考え使いこなすことができるようになることです。理解して先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力をつけることができます。

 東進では2カ月毎に実施されるセンター試験と同レベルの「センター試験本番レベル模試」と、その前段階の「センター試験高校生レベル模試」があります。センター試験の傾向、自分の現在の力を知り、さらに不得意分野、弱点を明確にしてセンター試験対策をスタートするのに大いに役立ててください。

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