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私立中学・高等学校ガイド

立方体の切断

2009年1月20日

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図図1

図図2

図図3

図図4

図図5

図図6

●日能研教務部:真藤啓

 中学入試では立体の切断がだんだん増えてきています。

 今回は基本的な立方体の切断について学んでみましょう。意外に奥が深く、応用範囲も広いのです。

    ◇

 さて、(図1)の様な立方体「ABCD−EFGH」を 3点 B、G、Dを取る平面で切ったときの切り口はどんな形になりますか。

 と言えば、BG、GD、DBの長さが等しいので、正三角形になります。

    ◇

 ところで、(図2)は2008年の灘中の問題の図です。このような立体を反角柱(正反三角柱)と言います。(図3)は(図1)の立体から、2つの三角錐を切り取った図です。図2の立体を図4のような平行六面体から 2つの三角錐を切り取った図とみると、立体(図1と図3)と(図2と図4)の体積比が等しいのがわかると思います。すると、灘中の問題が簡単に解けます。

 ここで、小さな立方体をキューブということにします。キューブという英語は立方体のことで小さいという意味はありませんが、英語ではなくツブをかっこつけていっていると思ってください。

 さて、キューブを 8個積み上げて作った立方体「ABCD−EFGH」(図5上)を3点B、G、Dを取る平面で切ったときの切り口はどんな風になりますか。

 というと、(図5下)のようになります。

    ◇

 では、キューブを 64個積み上げて作った立方体「ABCD−EFGH」(図6上)を3点B、G、Dを取る平面で切ったときの切り口はどんな風になりますか。(2007年灘中改題)

 当然、(図6下)のようになります。こうしたことを知っていると、たくさんの中学入試が解けるだけでなく、大学入試もそのまま解けます。たとえば、 2007年 11月の東京工業大学の問題(入学は 2008年 4月)も見通しよく解けます。大学受験雑誌などでは大変な難問扱いで解いていますので、中学受験に取り組むことが、直接的にも大学入試に有利であることが見て取れます。

    ◇

記事提供:『学校選択』 全国中学入試センター

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