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ドーナツ形の体積

2009年3月3日

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●日能研教務部:真藤啓

 灘中、開成中、栄光学園中などでは、数十年前の入試に新しい生命を吹き込んで出題されていますが、今回は埼玉県内の難問出題校として鳴る開智中の問題(2007年)を考えてみましょう。これは1990年の灘中のドーナツ形の発展形とみられます。 

〈問題〉

 中心が同じで半径の長さが異なる2つの円にはさまれた部分の面積は、「センターラインの長さ×道幅」で求めることができます。それは,図のように、中心を通る直線によって細かく切り分けて互い違いに置いていくことによって、長方形の形に近づいていくことから分かります。必要ならば以上の考え方を利用して、次の問に答えなさい。ただし円周率は、3.14とします。

問題

(1)図1のような位置にある正方形を直線のまわりに一回転させてできる立体の体積は何立方cmですか。

図1

(2)図2と図3のような位置にある半径が1cmの半円を直線のまわりに一回転させてできる2つの立体の体積の合計は何立方cmですか。

図2

図3

〈解答〉

 回転軸を含む平面で切り分け互い違いに積む

(1)回転軸を含む平面で切り分け互い違いに積み重ねると角柱(正方形柱)ができます。

 底面積 2×2÷2=2(平方cm)

 高さ (4+2÷2)×2×3.14=31.4(cm)

 体積 2×31.4=62.8(立方cm)

図4

(2)回転軸を含む平面で切り分け互い違いに積み重ねると半円柱ができます。

 底面積 1×1×3.14÷2=1.57(平方cm)

 高さ 2×3.14=62.8(cm)

 体積 1.57×62.8=9.8596(立方cm)

図5

記事提供:『学校選択』 全国中学入試センター

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