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数学Ⅱ

 大問4題の全問必答。分量と難易度に大きな変化は見られなかった。

【難易度】昨年並み

【全体概観】

 第1問は〔1〕が三角関数の問題、〔2〕が対数関数を含む不等式の問題である。第2問は〔1〕が放物線と直線で囲まれた図形の面積がテーマの問題。〔2〕は曲線と直線で囲まれた図形の面積から、元の曲線の方程式を求める問題。第3問は円と直線を扱った図形と方程式の問題で、丁寧に図示することがポイントとなる。第4問は複素数と方程式の問題、および整式の割り算と余りの問題。全体としては、分量は昨年とほぼ同量、難易度も昨年並みである。

設問別分析

【第1問】指数・対数関数、三角関数

◆[1]三角関数

 初めに弧度法の定義、および弧度法と度数法の対応に関する問いがあった。その後は三角関数を含む方程式を、加法定理や合成を用いて解かせる問題であった。変形の仕方が誘導されているので、それに従って進めていけば取り組みやすい。

◆[2]指数・対数関数

 対数関数を含む不等式の問題。対数関数を置き換えることにより、tの2次不等式や、2次式の平方完成を考えることになる。

【第2問】微分法・積分法

◆[1]微分法・積分法

 放物線と直線によって囲まれた部分と、直線によって囲まれた部分の面積を文字で表し、その差の増減を調べる問題。面積Sを問題文で与えられた形のまま進めると、高次方程式を扱うことになり、計算がやや煩雑になる。

◆[2]微分法・積分法

 曲線と直線で囲まれた部分の面積をtの関数として表し、それをもとに曲線の方程式を求める問題。基本的には原始関数からそれを微分してできる関数を求める容易な問題だが、設定が珍しいので、面食らった人も多かっただろう。

【第3問】図形と方程式(選択問題)

 座標平面における直線と円に関する問題。前半は、2定点と円周上の動点でできる三角形の重心の軌跡を求める問題、後半は、円周上の点から線分上の点までの距離の最大・最小を考える問題である。図を描いてどのような場合に最大・最小となるかを考えることが基本である。

【第4問】方程式・式と証明(選択問題)

 前半は、係数に文字を含む3次方程式の虚数解から、残りの実数解をその文字で表す問題。後半は、整式の割り算の商と余りに関する問題である。やや計算は煩雑だが、手が止まるような所はないので、慎重に解き進めたい。

新高3生へのアドバイス

 センター試験数学Ⅱでは、数学Iよりも発展的な出題が多い一方、数学Ⅱでは、数学Ⅰの学習を土台としているため、数学Iが未完成な状態では高得点を望めません。まだ不完全な人は、できるだけ早く数学Ⅰの基礎を完璧なものにしましょう。そのうえで、数学Ⅱの基礎を固めていくことが、効率的な学習となり、総合的な数学の力を自分のものにしていくことにつながります。

 数学Ⅱのそれぞれの分野において、センター試験対策に重要なポイントは以下の通りです。

◆方程式・式と証明

 3次式の展開・因数分解、二項定理、整式の除法について、しっかりと理解しておく必要があります。特に整式の除法は、剰余の定理、因数定理の導出の基となるものなので、原理からしっかりと理解を深めましょう。

◆三角関数

 加法定理から派生する倍角公式などは丸暗記でなく、導出過程も含めて理解し、さらに実際に使いこなせるレベルまで達する必要があります。求めるものによって、適切な式変形が素早く出来るように、まずは加法定理を完全に理解しましょう。

◆指数・対数関数

 指数法則、およびそこから導かれる対数計算、底の変換の計算などがいかに正確に素早くできるかがポイントです。指数や対数の底の大きさによる大小の場合分けや、対数の真数条件などの基本事項を理解した上で、計算のスピードを上げる練習をしましょう。

◆図形と方程式

 座標平面上における2直線の平行条件・垂直条件や、点と直線の距離、円の方程式の求め方は必ず理解しましょう。また、領域における最大・最小問題は、文字のとり得る値や不等号の向きに注意して正しく図を描くことが重要になります。図から大小が容易に判断できない場合には、計算で比較を行うなど柔軟に対応できるようにしましょう。

◆微分法・積分法

 数学Ⅱにおいて、毎年ほぼ必出の積分による面積の計算は、最も多くの時間を要する部分になります。図を描くことで面積を求める際の領域を求め、積分計算を正確に素早く行う必要があります。面積を求める領域の把握が第一歩となるので、日ごろから面倒がらずに図を描く習慣を身につけましょう。

 物事を理解するとは、その道理や筋道がわかり、自ら考えることができるようになることです。解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の原理を理解してから先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力をつけることができます。

 また、数学Ⅱの問題は、数学Ⅰ以上に抽象的に考えさせる問題が多く、また計算量も多いため、時間が足りないと感じることも多いと思います。センター試験対策としては、限られた時間で正確に解けるように演習を繰り返すことが欠かせません。

 東進では全国統一高校生テストを含めて年6回実施される「センター試験本番レベル模試」があります。センター試験の傾向、自分の現在の力を知り、さらに不得意分野・弱点を明確にしてセンター試験対策の学習を進めていきましょう。

新高2生へのアドバイス

 センター試験数学Ⅱでは、数学Ⅰよりも発展的な出題が多い一方、数学Ⅱでは、数学Ⅰの学習を土台としているため、数学Ⅰが未完成な状態では高得点を望めません。まずは数学Iの基礎を完璧なものにしましょう。その上で、数学Ⅱの基礎を固めていくことが、効率的な学習となり、総合的な数学の力を自分のものにしていくことにつながります。

 数学Ⅱの分野において、センター試験対策に重要なポイントは以下の通りです。

◆方程式・式と証明

 まずは、3次式の展開・因数分解、二項定理、整式の除法について、基本問題の演習を繰り返して解法を身につけておきましょう。また、因数定理や文字の置き換えを利用して高次方程式の解を求められるように演習を積んでおきましょう。

◆三角関数

 加法定理から派生する倍角公式などを丸暗記でなく、導出過程も含めて理解することが重要です。まずは加法定理を正確に覚え、他の公式が自由に導出できるように式変形する練習を積みましょう。

◆指数・対数関数

 指数法則、およびそこから導かれる対数の性質、底の変換などをまず理解しましょう。さらに、底の大きさによる増減、対数の真数条件なども押さえながら素早く正確に計算する習慣を身につけましょう。

◆図形と方程式

 座標平面上における2直線の平行条件・垂直条件や、点と直線の距離、円の方程式の求め方をまず理解しましょう。図を視覚的に捉える方法、数式で表現する方法の双方をしっかりと鍛えていきましょう。

◆微分法・積分法

 数学Ⅱにおいて、毎年出題される面積の積分計算は、最も多くの時間を要する部分です。まずは、面積を求める際の領域を正確に把握できるように、グラフを正確に描く習慣を身につけましょう。

 入試レベルの問題に取り組むために、まず今すべきことは数学Iを完璧にすることと基本を確実に身につけることです。教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップして学習することが、実力を高める一番の近道です。同時に「計算を最後までやり抜く」、「図やグラフを描いて考える」といった基本的なことを一つ一つ確実に積み重ねることによって、しっかりとした基礎力を高2の時点から養成していきましょう。

 物事を理解するとは、その道理や筋道がわかり、自ら考えることができるようになることです。解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の原理をきちんと理解してから先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力を身につけることができます。

 また、数学Ⅱの問題は、数学I以上に抽象的に考えさせる問題が多く、また計算量も多いため、時間が足りないと感じることも多いと思います。センター試験対策としては、限られた時間で正確に解けるように演習を繰り返すことが欠かせません。

 東進では年間4回実施される「高校生レベル(マーク・記述)模試」があります。自分の現在の力を知り、さらに不得意分野・弱点を明確にして本格的な受験勉強に向けて大いに役立ててください。(東進ハイスクール提供)

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