数学Ⅰ・A

大問ごとの出題に大きな変化はないが、一般的な事柄や、個々の事象に対する確率の正誤判定を行う問題が出題されたことが目新しい。

【難易度】難化

【全体概観】

 数学Ⅰ分野の第1問は3問、第2問は2問の中問に分かれ、第2問[2]の「データの分析」では、昨年と同様にヒストグラム、箱ひげ図、散布図の読み取りを中心とした問題が出題されたが、一般的な事柄の正誤判定を行う問題も出題された。第3問の「場合の数と確率」は、2つの中問に分かれ、[1]では、個々の事象に対する記述の正誤判定を行う問題、[2]では、これまでと同様の形式の確率の問題が出題された。第4問の「整数の性質」は、まず10進法で循環小数を分数で表し、同様の流れで7進法の循環小数について考える問題であった。第5問の「図形の性質」では、チェバの定理、メネラウスの定理などを利用する問題が出題された。大問数の変化はなく、分量も大きく変わっていないものと思われるが、目新しい問題がいくつか出題されたため、総じて取り組みにくかったものと思われる。

設問別分析

【第1問】 2次不等式・集合と命題・2次関数

[1](2次不等式)

 直線の傾きやx切片の符号の条件から2次不等式を解く問題。(2)で分数式が現れるが、本質的には分子の2次式の符号を考えることで解決する。

[2](集合と命題)

 3つの数の倍数の集合について、包含関係を考察する問題。4、6、24の最小公倍数である24までの自然数の分布を考えることで結論が得られる。(3)で与えられている値が選択肢のいずれの命題についての反例であるかを問われており、目新しい。

[3](2次関数)

 放物線の平行移動に関する問題。放物線の軸と頂点を正しく求めることができれば、解きやすいと思われる。

【第2問】 図形と計量・データの分析

[1](図形と計量)

 三角形が与えられ、それぞれの角の三角比や辺の長さなどを求める問題である。角の二等分線の性質を利用できるかどうかがポイント。

[2](データの分析)

 (1)は個々の事柄に対する正誤判定を行う問題、(2)からは平成27年の男女の市区町村別平均寿命のデータを利用したデータの分析の問題である。47都道府県のデータが箱ひげ図で与えられている。与えられた散布図を正確に読み取り、平均寿命の差のヒストグラムを選択する問題は、目新しい。

【第3問】 場合の数と確率 (選択問題)

 [1] 選択肢の中で正しい記述を指摘する問題。これまでにはない出題形式である。それぞれの選択肢について、確率を丁寧に求めていけば難しくはないが、形式の変化に惑わされた受験生も多かったと思われる。

 [2] コインを投げ、表裏で得点の増減がある試行に関する問題。(3)までは個々の事象に関する確率の計算、また、(4)で条件付き確率に関する出題があった。典型的な問題である。

【第4問】 整数の性質 (選択問題)

 n進数の循環小数に関する問題。(1)で簡単な場合である10進数の計算を行い、これをヒントに(2)で7進数の循環小数に関する考察を進める。1次不定方程式の整数解を決定する問題に帰着される。題意が読み取れれば計算は少ないが、躓く受験生も多かったことだろう。

【第5問】 図形の性質 (選択問題)

 線分比と面積比、角の大きさの関係などを、平面図形に関する基本的な定理から導く問題。チェバの定理、メネラウスの定理などの基本的な定理を正しく運用していけば解き進められる。標準的な内容である。

新高3生へのアドバイス 数学I・A

 大学入学共通テストの数学I・Aでは、その年の問題の難易度変化に関わらず高得点が求められると考えて準備しておく必要があります。数学I・Aは、高校数学の土台ともいうべき分野なので、大学入学共通テストにおいても基本の理解を問う出題が多く含まれます。大切なのは、「基本を早期に確実に理解し、問題演習を繰り返し限られた時間内で正答を確実に導く力を養う」ことです。

 各分野ごとに学習していく上で重要なポイントは以下の通りです。

◆数と式、集合と命題

 絶対値記号を中の符号で場合分けをして外す、代入計算を式変形によって行う、複数の不等式をすべて満たす範囲を数直線を用いて考える、などといった基本動作を確実にできるようにしましょう。また、必要条件か十分条件かの判定は、集合の包含関係や数直線を用いて視覚的に捉えることが有効です。覚えるのではなく理解に努めることが大切で、一度理解してしまえば、確実に得点できる分野です。勘に頼ることなく、「命題の真偽から考える習慣」を普段からしっかりと身につけましょう。

◆2次関数

 「グラフを描きイメージしながら解き進められるか」がポイントです。2次関数のグラフが軸を中心として線対称であることを利用した最大・最小問題、2次関数のグラフと2次方程式・不等式の解の相互間の言い換えなどをグラフを描いて考える習慣を身につけましょう。

◆図形と計量

 正弦定理や余弦定理など、三角比の基本公式を身につけることが最も重要です。それに加えて、常に図形問題では自分で図を描いて考えることが基本です。なるべく「大きく図を描き、解き進めていく中で分かった長さなどの情報を書き込んでいく」習慣を身につけましょう。

◆データの分析

 多くの用語が出てくるので、まずはそれぞれの用語の定義を正しく覚えることが重要です。用語の定義を正確に覚えた上で、代表値などの値の計算、そして「度数分布表や箱ひげ図、散布図などからデータの特徴を読み取る」練習を重ねましょう。

◆場合の数と確率

 「公式に頼るのではなく、樹形図などから数え上げの原理を理解する」ことが極めて重要です。併せて他分野以上に「状況を言い換える力」も求められます。考え方を理解しながら学習しましょう。

◆整数の性質

 約数・倍数の考え方、ユークリッドの互除法、不定方程式の解、n進法の考え方を理解したうえで、「論理的に解き進めていく力」が必要になります。日頃の学習では、一つ一つの式変形の意味を明確にしながら解き進めることを繰り返しましょう。

◆図形の性質

 三角形や円の性質を図と合わせてきちんと理解しているかが重要です。図形と計量と同様、「図を描いて等しい角や長さ、相似などを見抜く」ことができるように練習を重ねましょう。

 各分野を効率よく学習するには、いきなり入試レベルの問題に取り組むのではなく、教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップしていくのが一番の近道です。「計算を最後までやり抜く」、「図やグラフを描いて考える」といった基本的なことを地道に積み重ねることによって、確固たる実力を身につけましょう。また、解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の原理をきちんと理解してから先に進むような勉強を心がけましょう。物事を理解するとは、その道理や筋道がわかり、自ら考えることができるようになることです。理解して先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力をつけることができます。

 東進では「全国統一高校生テスト」を含めて年6回実施される「共通テスト本番レベル模試」があります。大学入学共通テストの傾向や自分の現在の力を知り、さらに不得意分野、弱点を明確にして大学入学共通テスト対策を早期に進めましょう。

新高2生へのアドバイス

 2021年度からはじまる大学入学共通テストの数学I・Aでは、従来のセンター試験と比べ問題の設定が変わります。授業風景や日常生活に関する対話、コンピューター画面上で図やグラフを動かすことを想定した長い問題文から必要な情報を読み取って解き進める力が要求されます。自分自身の情報を読み取るスピードを把握した上で、与えられた情報をより速く正確に読み取って解き進める力を身につけていく必要があります。そのためにも、まずはその土台となる「数学I・A、数学Ⅱ・Bの基礎・基本を確実に理解する」ことが重要です。

 数学I・Aのそれぞれの分野において、新高2生が今から身につけておくべきことは以下のとおりです。

◆数と式

 絶対値記号を中の符号で場合分けをして外す、代入計算を式変形によって行う、複数の不等式をすべて満たす範囲を数直線を用いて考える、などといった基本動作をまず身につけましょう。

◆集合と命題

 必要条件か十分条件かの判定は、集合の包含関係や数直線を用いて視覚的に捉えることが有効です。覚えるのではなく理解に努めることが大切で、一度理解してしまえば、確実に得点できる分野です。勘に頼ることなく、「命題の真偽から考える習慣」を普段からしっかりと身につけていきましょう。

◆2次関数

 この分野はグラフを描いて、イメージして解き進められるかどうかがポイントです。「グラフを描いて考える」習慣を身につけましょう。

◆図形と計量

 図形問題は図を描いて考えることが基本です。「なるべく大きく図を描き、解き進めていく中で分かった長さなどの情報を書き込んでいく」習慣を身につけましょう。

◆データの分析

 まずは用語の定義を正確に覚えることが重要です。用語を覚えた上で、「代表値などの値の計算、度数分布表や箱ひげ図、散布図などからデータの特徴を読み取る」練習を重ねましょう。

◆場合の数と確率

 公式に頼るのではなく、「樹形図などから数え上げの原理を理解することが極めて重要」です。全てを書き上げようとする姿勢の中で、順列や組み合わせの考え方を身につけましょう。

◆整数の性質

 約数・倍数の考え方、ユークリッドの互除法、n進法の考え方をそれぞれ原理から理解することが重要です。「それぞれの式変形が何を意味するか、丁寧に確認」しながら原理から理解しましょう。

◆図形の性質

 三角形や円の性質を図と合わせて理解しましょう。図形と計量と同様、「図を描いて解き進めていく中で等しい角や長さ、あるいは相似などを見抜く練習を重ねる」ことが重要です。

 入試レベルの問題に取り組むためにまず今すべきことは、「基本を確実に身につけること」です。教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップして学習していくことが、実力を高める一番の近道です。「計算を最後までやり抜く」「図やグラフを描いて考える」といった基本的なことを地道に積み重ねることによって、確固たる力を養成しましょう。また、解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の「原理をきちんと理解してから先に進む」ような勉強を心がけましょう。物事を理解するとは、その道理や筋道がわかり、自ら考え使いこなすことができるようになることです。理解して先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力をつけることができます。

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