問題１.式変形と場合の数の問題
$a$＜$b$＜$c$をみたす正の整数の組($a$,$b$,$c$)であって,

が成り立つものはいくつあるか.

問題２.平面幾何の問題
辺ADと辺BC が平行である台形ABCD があり, ∠A = ∠B = 90°, AB = 8, BC = 11, DA=6 が成り立っている. 辺AB,BC,CD,DA 上にそれぞれ点P,Q,R,S があり,四角形 PQRS は正方形である. このとき, $\frac{\mathrm{<msub><mi>CR</mi></msub>}}{\mathrm{<msub><mi>RD</mi></msub>}}$の値あたいを求めよ. ただし, XY で線分XY の長さを表すものとする.

問題３.整数の性質と場合の数の問題
最大公約数が1である正の整数の組（$a$₁, $a$₂, $a$₃, $a$₄, $a$₅, $a$₆）であって,

, , , , ,

がすべて整数となるようなものはいくつあるか.

問題４.平面幾何の問題
それぞれ角ACB, 角AED, 角EGF が直角であるような3つの直角二等辺三角形ABC, ADE, EFGが下図のように重なっている. 五角形ABDGEの面積が23であり, AB =8, FD >DGのとき,線分FDの長さを求めよ.
ただし, XY で線分XY の長さを表すものとする.

問題５.整数の性質の問題
p≦qなる素数の組 (p,q)であって, 15(p −1)(q −1)がpqの倍数となるようなものすべてについて, pqを足し合わせた値を求めよ.

問題６.場合の数の問題
白い石, 黒い石合わせて2024個を横一列に並べたところ, 右隣どなりに白い石が置かれている黒い石の個数より, 左隣に白い石が置かれている黒い石の個数の方が大きくなった. このような並べ方は何通りあるか.

問題７.代数の問題
整数係数2次多項式P,Q,Rは以下の条件をみたすとする. このときR(𝑥)として考えられるものをすべて求めよ.

● P (1) =P (2) =Q (3) =0.

● 任意の実数𝑥に対してP (𝑥)²+Q (𝑥)²=R (𝑥)²が成り立つ.

● P,Q,Rのすべての係数を割りきる2以上の整数はない.

● P,Qの2次の係数は0ではなく,Rの2次の係数は正である.

問題８.平面幾何の問題
四角形ABCDが, ∠A＝∠B＝90°, ∠C＝45°, AC＝19, BD＝15をみたすとき, その面積を求めよ. ただし, XYで線分XYの長さを表すものとする.

問９.平面幾何の問題
三角形ABCの内部に点P がある. AP = $\sqrt{3}$, BP = 5, CP = 2, AB : AC = 2: 1, ∠BAC = 60°であるとき, 三角形ABCの面積を求めよ.ただし, XY で線分XYの長さを表すものとする.

問題10.場合の数の問題
下図のように,一辺の長さが1の立方体4個からなるブロックが4種類ある. このようなブロック4個を2×2×4の直方体の箱にはみ出さないように入れる方法は何通りあるか. ただし,同じ種類のブロックを複数用いてもよく,ブロックは回転させて入れてもよい. また,箱を回転させて一致する入れ方は異なるものとして数える.

問題11.不等式の証明の問題
実数$a$, $b$, $c$, $d$ は$a$ ≧ $b$ ≧ $c$ ≧ $d$ > 0 および $a$ + $b$ + $c$ + $d$ = 1 を満たしている. このとき

であることを示せ.

問題12.関数方程式の問題
ℤを整数全体からなる集合とする. 関数$f$ : ℤ → ℤ であって, 任意の整数$a$, $b$ に対して

をみたすものをすべて求めよ.